La división

Concepto de división

Operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un numero (divisor) está contenido en otro (dividiendo). El resultado de la división se denomina cociente.Como operación, la división no mantiene muchas de las propriedades de las demás operaciones. No cumple la propriedad conmutativa; no cumple la propriedad asociativa y no se puede dividir por cero.

La propriedad fundamental de la división es DIVIDENDO= Divisor X Cociente + Resto. (D=D x C+ R).

Situaciones de la división:

• Reparto sustractivo (agrupaciones): descontar simpre la misma cantidad.
• Reparto distributivo (reparto equitativo) : repartir en grupos iguales.
• Es importante que se explore la división en situaciones de reparto distributivo (equitativo ) y en situaciones de reparto sustractivo (agrupación)

Enseñanza del algoritmo de la división

1. División por una sola cifra en el divisor

1. División con varias cifras en el dividiendo y una sola en el divisor.
   

   

• Lo más importante es que los alumnos comprendan la relacion:
  Dividendo= Divisor X Cociente + Resto.  
  

La división es quizá la operación que presenta un algoritmo más rígido, en el que no caben muchas adaptaciones personales. En la multiplicación o en la suma e puede cambiar el orden de los factores,  o agruparlos en distinta forma, la resta puede hacerse por descuento o por complementación, … pero en la división no caben estas posibilidades. Es además, la única en que el algoritmo se comienza por la izquierda.

Algoritmo expandido en reparto distributivo  

Ejemplo: 3496 : 8 3496  =  3200   +  240   +  56      

              : 8                : 8           : 8           

   4x100      3x10                    7   =            437  

Algoritmo expandido en reparto sustractivo  

Ejemplo:

 3496 : 8

 400x8 = 3200                    400 veces 

3496 – 3200 = 296

 30x8 = 240                          30 veces 

296 – 240 = 56

 8x7 = 56                               7 veces

   Total:                                 437 veces  

Algoritmo extendido 

Este algoritmo tiene una ventaja, y es que permite que los alumnos comprendan cómo la división es un proceso de resta repetida. Pero tiene el inconveniente de que es más lento que el que habitualmente utilizamos.

Algoritmo estándar 

Este algoritmo es uno de los más complicados para los alumnos de Primaria. Particularmente importante en el dominio del algoritmo de la división es el dominio del cálculo mental para las estimaciones en los repartos (“a cuanto cabe”) y para las restas sucesivas. 

División egipcia 

Este algoritmo se basa en el de la multiplicación y utiliza el proceso de duplicar y sumar.

Se coloca en la columna de la izquierda el divisor, y se va duplicando hasta que se llegue a un número que, duplicado, sería mayor que el dividendo. En la columna de la derecha se empieza por 1, y también se va duplicando.  Se suman los factores de la columna de la izquierda hasta que se obtiene el dividendo o uno próximo a él. El cociente será formado por la suma de los números de la columna derecha enfrentados a dichos factores.   

Errores en el algoritmo de la división.  

Las dificultades en el cálculo mental son fuente de los errores más frecuentes en el algoritmo de la división, que son los siguientes:  

- Separaciones no adecuadas de cifras del dividendo para iniciar la división. 

- Errores en los cálculos mentales de ir restando a medida que se realizan las multiplicaciones parciales. 

- Reproducción de los mismos errores que en la en la resta y la multiplicación.  

- En las aproximaciones parciales del cociente dejar restos parciales superiores al divisor. 

- Omitir ceros en el cociente. 

II Divisibilidad

 Concepto de múltiplo y divisor.

 Un número a es múltiplo de otro b si la división de a  entre b es exacta.

Un número b es divisor de otro a si al la división de a entre b es exacta.

Es decir si al  dividir a entre b la división es exacta, entonces

                          a es múltiplo de b

                          b  es divisor de a

y entre a y b se ha establecido una relación de divisibilidad

Divisibilidad 

A continuación incluimos los criterios de divisibilidad, que permiten saber si un número es divisible por otro antes de efectuar la división. 

•   Un número es divisible entre dos si acaba en cero o cifra par

•                 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras estrés o múltiplo de tres

•                 Un número es divisible entre 5 si acaba en  cero o en cinco

•                 Un número es divisible por 10, 100.1000… si acaba en un cero, dos ceros…

Propiedades de múltiplos y divisores. 

- 0 es múltiplo de todos los números naturales (cualquier número multiplicado por 0 da 0 como producto)

. - 0 no es divisor de ningún número natural positivo. 

- 1 es divisor de todos los números naturales (al multiplicar cualquier número por 1 se obtiene ese mismo número como producto). 

- 1 sólo es múltiplo de sí mismo.

. - Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo. 

- Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

Números primos y compuestos

Un número es primo si no tiene más divisores que el mismo y la unidad.

Un número es compuesto cuando tiene tres o más divisores.

Los números primos de 0 a 100 son:

2, 3, 5,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 7,71, 79, 83, 89, 97.

 Ejemplos de números compuestos:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25,26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, …

Descomposición factorial en factores primos

La descomposición factorial de un número en factores primos consiste en expresar el número como producto de  números primos o potencias de números primos.

Para hacer la descomposición factorial de un número se empieza dividiendo entre dos si es posible todas las veces que sea necesario, luego entre tres, 5,7...hasta que el cociente sea 1.

Ejemplo: 

60 30 15 5 1

2 2 3 5

 60 = 2² ·3 ·5

Cálculo de los divisores de un número

Para  calcular los divisores de un número se procede del siguiente modo:

1.              Se hace la descomposición factorial en factores primos

2.              Se escriben los factores primos obtenidos incluido el uno, y después los productos de dos factores primos de todas las formas posibles, de tres factores primos así sucesivamente hasta acabar.

Ejemplo: Calcular los divisores de 48:

48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 3

    

                  Los divisores de 48 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 24 ,48

                  Los productos posibles son: 2x2; 2x3; 3x3;

                   2x2x2; 2x2x3; 2x2x2x2; 2x2x2x3; 2x2x2x2x3

 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Parte de la dificultad de estos conceptos radica en su denominación: máximo común divisor debería decirse en castellano, “máximo divisor común” o “divisor común máximo”, mientras que mínimo común múltiplo debería decirse en castellano “mínimo múltiplo común”. De la misma forma, no decimos en castellano “el rojo pequeño coche”, sino “el pequeño coche rojo” o “el coche rojo pequeño”. Algo similar ocurre con la denominación de “mínimo común múltiplo”. 

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente, el mayor de los divisores comunes.  

Mínimo común múltiplo (m. c. m.) es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.  

Cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo 
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes.
Para calcular el máximo común divisor (M.C.D) se siguen los siguientes pasos:

              

1) Se efectúa la descomposición factorial de los números.

2)     Se eligen los factores primos comunes con los menores exponentes

3)   El máximo común divisor (M.C.D.) es el producto de los factores elegidos

Si  no hay ningún factor común el M.C.D. es la unidad y los números son primos entre si.

Ejemplo: Halla el M.C.D. (60, 45, 36)

36 18 9 3 1

2 2 3 3

60 30 15 5 1

2 2 3 5

45 15 5 1

3 3 5

  

   

 M.C.M (60, 45,36) = 2²· 3²· 5 

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos. 

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, se descomponen en factores primos, y se multiplican los factores comunes y no comunes con mayor exponente.  

Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será: