Divisibilidad

CONCEPTO DE MULTIPLO:

Un número entero r es múltiplo de un número entero s cuando existe otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r. Por ejemplo: 12 es múltiplo de 3 ya que 3 x 4 = 12. Vemos entonces que si a 3 lo multiplicamos por 4, tenemos como resultado 12, lo que quiere decir que 12 es múltiplo de 3.

Si queremos saber si un número es múltiplo de otro, debemos realizar una operación de división entre ambos. Cuando el cociente es un número entero (y, por lo tanto, el resto de la operación es 0), estamos ante un número múltiplo del otro. Volviendo a nuestro ejemplo anterior, 12 / 3 = 4.

El conjunto de los múltiplos de un número natural es infinito. En otras palabras, existen tantos múltiplos de un número como números naturales. Los múltiplos de 3 son {3, 6, 9, 12, 15. 18, 21…}. Veamos a continuación las propiedades de los múltiplos:

·        todos los números enteros son múltiplos de 1, ya que cualquier número se puede obtener multiplicándose por 1 (18 x 1 = 18, 134 x 1 = 134).

·        si un número a es múltiplo de b, también se da que b sea divisor de a (como 33 es múltiplo de 11, 11 es divisor de 33, ya que 33 / 3 = 11).

·        0 (cero) es múltiplo de cualquier número, es decir que al multiplicarlo por cualquier valor se obtiene 0.

·        al sumar distintos múltiplos de un número dado, se obtiene otro múltiplo del mismo.

·        similar al punto anterior, la diferencia de dos múltiplos de un número cualquiera da como resultado un tercer múltiplo.

·         si a es múltiplo de b y éste, de c, entonces a es múltiplo de c;

·        si a es múltiplo de b, todos los múltiplos de a también lo son de b.

CONCEPTO DE DIVISOR:

El número entero r es divisible por un entero s si el resultado de la operación es un tercer entero t. En ese caso, se dice que r es divisor de s (r / s = t).

Por ejemplo: 8 es divisor de 4 ya que 8 dividido 4 es igual a 2 (un número entero). En cambio, 8 no es divisor de 5, porque si realizamos dicha operación el resultado no será un número entero, sino 1,6.

En la estructura de la operación aritmética de división, el divisor es el número que está contenido x veces en otro, el llamado dividendo.

Un concepto que resulta equivalente al de divisor, aunque se enfoca desde la perspectiva inversa, es el de submúltiplo (el número que otro contiene exactamente dos o más veces). Retomando nuestro ejemplo anterior, podemos decir que 4 es submúltiplo de 8, ya que 4 x 2 = 8.

El común divisor es un tipo de divisor a través del cual 2 o más números resultan divisibles con exactitud. El máximo común divisor, por su parte, es el común divisor más grande de dos números o más.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo: 24, 238, 1 024, ...

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplo:

564            5 + 6 + 4 = 15                  15 es múltiplo de 3

2 040         2 + 0 + 4 + 0 = 6             6 es múltiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Ejemplo: 36, 400, 1 028, ...

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Ejemplo: 45, 515, 7 525, 230, ...

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Ejemplo: 72, 324, 2 400, ...

Criterio de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

Ejemplo: 4 000, 1 048, 1 512, ...

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Ejemplo:

81               8 + 1 = 9

3 663               3 + 6 + 6 + 3 = 18                  18 es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

Ejemplo: 130, 1 440, 10 230, ...

Criterio de divisibilidad por 7:

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.

Ejemplo:

-        343                 34 − 2 · 3 = 28           28 es múltiplo de 7

-        105            10 − 5 · 2 = 0

-        2 261             226 − 1 · 2 = 224

-        Se repite el proceso con 224            22 − 4 · 2 = 14        14 es múltiplo de 7

Criterio de divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11.

Ejemplo:

121           (1 + 1) − 2 = 0

4224         (4 + 2) − (2 + 4) = 0

REALIZADO POR: Jennifer Viejo Hidalgo y Eva Carreras Teruel.