Cálculo Mental II

1- ¿Por qué nos interesa el cálculo mental?

El interés del  “cálculo mental” en las clases es grande, en primer lugar hay alumnos que calculan mentalmente bastante bien y otros alumnos con dificultades.

Por otro lado, tambien existen adultos que realizan el cálculo mental bastante bien y otros que muestran grandes dificultades al usarlo.

2- ¿Por qué es importante el cálculo mental?

•                     En primer lugar resaltar, que es importante porque es más rápido que el cálculo escrito y evita la realización de muchas operaciones tediosas.

•                     También es útil para la comprobación de los resultados de otros cálculos que utilizamos diariamente.

•                     Además de lo dicho anteriormente, el “calculo mental” es un facto muy importante en el aprendizaje de la resolución de problemas.

•                     Nombrar por último, la prática del cálculo mental, que favorece a una serie de capacides matemáticas de gran valor, por ejemplo la capacidad de estimación.

3- ¿Cómo afrontar la enseñanza del cálculo mental?

Nuestros mayores objetivos es que los alumnos conozcan y utilicen técnicas del cálculo mental que les podrán ser útil tanto para el ambiente escolar como para su vida cotidiana.

Es bueno resaltar dentro de este apartado, que debemos descartar en el cáculo mental la idea de que para calcular mentalmente hay que tener una gran memoria o una gran capacidad abstracta. El cálculo mental no consiste en conocer de memoria muchos resultados y utilizarlos, tan sólo unos pocos pero bien empleados. 

4- Bases para la enseñanza del cálculo mental

Las bases para llevar a cabo el cálculo mental son:

•                     Correcta enseñanza de las series numéricas.

•                     Enseñanza del mecanismo de complementación.

•                     Uso de dobles y mitades.

5- Principales estrategias del Cálculo Mental Escolar

Existen millones de estrategias para llevar a cabo el “Cálculo Mental”, tanto para niños como para adultos. Se añaden a otras estrategias más generales que ya conocemos como son “sumar”, “restar”, “multiplicar” y “dividir”.

Algunas son más sencillas que otras y en muchos casos se hacen combinaciones de varias.

Algunas de las estrategias son:

•                     Juntar: Que se trata de la estrategia más común para llevar a cabo la suma.

Consiste en agrupar dos conjuntos representados de distintas formas (gráfica) y contar los elementos resultantes.

•                     Quitar: Estrategia usada para restar. Consiste en eliminar de un conjunto dado un cierto número de elementos.

•                     Contar hacia delante: Estrategia más avanzada de la suma.

•                     Contar hacia atrás: Estrategia más avanzada de la resta.

•                     Contar las que faltan para llegar hasta: Estrategia también usada para la resta, normalmente después de haber utilizado las anteriores de “quita” y la de “contar hacia atrás”.

•                     Hacer el doble: Esta estrategia hace uso del doble ya conocido en un número, para sumar otras aproximadamente a él.

EJEMPLO: 8+9 se hace 8+8=16, 16+1=17

•                     Hacer la mitad: Estrategia usada para restar, multiplicar y dividir.

•                     Restar como contrario de sumar: Hace uso de resultados ya conocidos de la suma para que sean aplicados a la resta.

EJEMPLO: 9-6=3 porque 6+3=9

•                     Dividir como contrario de multiplicar: Mecanismo análogo al de “restar como contrario de sumar”. 

•                     Contar de diez en diez, cien en cien: Sirve para realizar las mismas operaciones pero usando números mayores.

EJEMPLO: 90+30 se hace (de forma análoga  a 9+3) : 100, 110, 120.

A parte de esto se multiplica por 10, por 100 añadiendo uno o dos ceros.

•                     Compensar y distribuir: Estrategia usada de varias formas:

Utilizando dobles: como por ejemplo sería 8+7 se hace 8+8 (que se sabe de memoria el doble) -1.

Utilizando amigables: el ejemplo sería  8+7 también se hace 8+2=10 y 10+5 ?15.

•                     Imitar la resolución con lápiz y papel: Consiste en reproducir mentalmente el mismo proceso de resolución que se hace con el uso del papel y el lápiz.

Lucía Guillén López

Cálculo Mental I

El cálculo mental es una parte fundamental de las matemáticas. Gracias a él, las personas encontramos herramientas para responder de forma flexible y adecuada a distintas situaciones de la vida cotidiana, como la capacidad de decidir rápidamente la conveniencia de comprar un producto bajo una determinada rebaja, o las cantidades aproximadas de comida que se necesitan para hacer una receta.
El interés que la enseñanza del calculo mental en el aula es que existen alumnos que calculan mentalmente muy bien y otros que no lo hacen. 
 Por otra hay también  hay adultos que calculan mentalmente muy bien y otros que no.
Tradicionalmente, la enseñanza del cálculo mental ha puesto énfasis en la práctica repetida de operaciones para lograr resolverlas lo más rápido posible “en la cabeza“, sin necesidad de utilizar lápiz y papel.

Sin embargo, esta visión no es del todo completa, ya que ser bueno en cálculo mental significa algo más que acumular en la memoria una serie de hechos numéricos aislados. Al contrario, para ser ágil en el cálculo hay que ser capaz de interconectar, entender y dominar una gran cantidad de ideas y conceptos. En otras palabras, la buena capacidad de cálculo no depende tanto de un gran almacén de hechos, operaciones o resultados aislados, como de un buen sentido numérico.
Se ha demostrado que los niños que dominan el concepto de número y las relaciones aritméticas son mejores calculando.  Comprender que un número puede componerse y descomponerse en distintas partes, y que esto puede hacerse de formas muy diversas, ayuda a los niños a desarrollar diferentes estrategias de cálculo mental.

Suma de dobles más uno: 8 + (8+1) = 16 +1 = 17.

Sumas de 10: (7+1) +9 = 7 + 10 = 17

Así, sería más correcto concebir el cálculo mental como la invención y aplicación de estrategias basadas en las características del sistema numérico y de las operaciones aritméticas. Según esta perspectiva, el cálculo mental se describe como “piensa con tu cabeza“, en lugar de “opera en tu cabeza“, y aboga por favorecer el sentido numérico. 

 Nuestro objetivo es que los alumnos conozcan y utilicen técnicas de cálculos mental que les pueden ser útiles no solo en el ámbito escolar,sino también en su vida diaria.

El Calculo mental no consiste en conocer de  memoria muchos resultados y utilizarlos, Tan sólo unos pocos, pero bien empleados. 

Nos parece  que perjudica  a la enseñanza la idea, de que existe cualidades innatas que unas personas tienen y otras no. Creemos. que como en otros órdenes de la vida, las cualidades innatas, influyen, pero hay cosas que se puede se pueden enseñar y se debe enseñar.  

Existen estrategias de Cálculo Mental que pueden ser enseñadas y aprendidas por los alumnos desde edades tempranas. Estrategias , que son relativamente pocas y que puede ser efectivamente enseñadas y aprendidas. El problema es que estas estrategias no suelen enseñar de forma metódica, y se utilizan recursos dispersos que aparecen en los libros de texto de un modo desordenado. 

A través de estrategias de cálculo mental, podría resolverse de diversas maneras. Algunas posibilidades son: 

• Calcular el complemento de 755 a 1.000 de diferentes modos.

 Por ejemplo, apoyándose en números redondos: 755 + 5 = 760 760 + 40 = 800 800 + 200 = 1.000 200 + 40 + 5 = 245 

• Ir restando sucesivos números a 1.000 hasta alcanzar 755: 1.000 – 200 = 800 800 – 45 = 755 200 + 45 = 245

 b) La multiplicación 4 x 53 podría resolverse mediante el algoritmo convencional de la multiplicación, o también a través de procedimientos de cálculo mental. 

Por ejemplo: 4 x 50 + 4 x 3 Como el doble de 53 es 106, 4 x 53 es el doble de 106, 212

Los alumnos desde muy pequeños poseen una concepción del numero y unas estrategias de calculo, que , si bien no podemos llegar a considerar del todo innatas, si son tempranas y muy resistentes al cambio, por ellos es necesario conocerlas y solucionar las que son correctas  

La mejor base para la enseñanza escolar del Calculo Mental radica en la adecuada  enseñanza de la Educación Infantil , del concepto de numero de la serie numérica y de las operaciones, Esto es algo muy importante pues cómo de aprendan  , dependerá que  sea mas o menos fácil para el alumnado calcular después mentalmente. Un contenido matemático que es aprende en  Educación Infantil, es  de suma importancia, es el concepto de número y de qué número es mayor o menor. 

Con respecto a la enseña de la serie numérica , en nuestro ámbito escolar suele aprenderse  en educación infantil hasta el número 10.   En Educación Infantil se enseña hasta el 10 , y se  interrumpe de una forma incomprensible, la enseñanza del sistema de numeración oral, que sólo se continúa en el primer ciclo. 

 A partir de la Educación Primaria creemos que es el momento de enseñar estas estrategias  como expondremos más adelante, las principales de ellas se aprenden , en sus aspectos fundamentales, antes del 4º curso.  Las que se utilicen  después, son sólo variaciones con números mayores. 

En concreto, las estrategias más  importantes son las relacionadas con la suma y la resta, pero para la multiplicación y división  hay muy pocas técnicas nuevas. Para la multiplicación y división , algo que sí  resulta básico es aprender las tablas de multiplicar. Quizá sea lo único en Cálculo Mental que creemos que deba ser aprendido de memoria.  Un aspecto en el que hay que insistir es en la enseñanza de las series numéricas ascendentes y descendentes , y enseñar a sumar y restar utilizando agrupaciones de objetivos. 

Es muy importante aprender la serie del 10 asociada a la serie del 1 y los alumnos observen que del mismo modo que se suma 2+3 se suma 20+30 y así sucesivamente.  La serie de 2 en 2 también son muy importante. Es importante conseguir romper la cadena numérica comenzando la serie desde cualquier número. Por último otra enseñanza muy útil, es aprender a hacer el doble y la mitad. 

En resumen recordemos, pues que existen tres bases fundamentales para la enseñanza del Cálculo Mental en Primaria: 

• correcta enseñanza de las series numéricas

• enseñanza del mecanismo de complementación 

• uso de dobles y mitades

Principales estrategias de Cálculo Mental escolar.

Existe un número limitado de estrategias  que se utilizan en el Cálculo Mental, los mas conocidos como "sumar", "restar", multiplicar" y " dividir".  Algunas de las  estrategias básicas son : juntar, quitar, contar hacia adelante, contar hacia atrás, contar las que faltan para llegar hasta, hacer el doble, hacer la mitad etc.  

Sumas de números de una cifra (por ejemplo, 5 + 5; 5 + 6) y restas asociadas a dichas sumas (11– 5; 11 – 6, etcétera).

 • Identificación de descomposiciones aditivas del número 10 y de las restas asociadas a ellas; identificación de las descomposiciones aditivas del número 100 en números “redondos” y de las restas asociadas a ellas.

 • Sumas de un número “redondo” de dos cifras más un número de una cifra, por ejemplo, 70 + 9; restas vinculadas a dichas sumas, por ejemplo, 79 – 9. 

• Suma o resta de 10, 100 ó 1.000 a un número cualquiera.

 • Suma o resta de un número “redondo” a un número cualquiera.

 • Otras descomposiciones aditivas de los números vinculadas con la organización del sistema de numeración, por ejemplo, 2.000 + 500 + 40 + 6; 800 + 7; 200 + 19, etc., restas vinculadas a ellas, por ejemplo, 4.271 – 271; 384 – 80

 • Multiplicación y división por 10, 100, 1.000,...

 • Descomposiciones multiplicativas de las escrituras numéricas y cálculos asociados a ellas, por ejemplo, 3 x 1.000 + 4 x 100 + 5 x 10 + 8; etcétera.

 • Extensión de los conocimientos sobre la tabla pitagórica a multiplicaciones con números “redondos” de más de una cifra, por ejemplo. 40 x 30; 200 x 500; 2.000 x 60; etcétera.

Una pagina  que los niños pueden aprender mejor el Cálculo Mental: CLIK

Arama Cristina Ana Maria  

Divisibilidad

CONCEPTO DE MULTIPLO:

Un número entero r es múltiplo de un número entero s cuando existe otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r. Por ejemplo: 12 es múltiplo de 3 ya que 3 x 4 = 12. Vemos entonces que si a 3 lo multiplicamos por 4, tenemos como resultado 12, lo que quiere decir que 12 es múltiplo de 3.

Si queremos saber si un número es múltiplo de otro, debemos realizar una operación de división entre ambos. Cuando el cociente es un número entero (y, por lo tanto, el resto de la operación es 0), estamos ante un número múltiplo del otro. Volviendo a nuestro ejemplo anterior, 12 / 3 = 4.

El conjunto de los múltiplos de un número natural es infinito. En otras palabras, existen tantos múltiplos de un número como números naturales. Los múltiplos de 3 son {3, 6, 9, 12, 15. 18, 21…}. Veamos a continuación las propiedades de los múltiplos:

·        todos los números enteros son múltiplos de 1, ya que cualquier número se puede obtener multiplicándose por 1 (18 x 1 = 18, 134 x 1 = 134).

·        si un número a es múltiplo de b, también se da que b sea divisor de a (como 33 es múltiplo de 11, 11 es divisor de 33, ya que 33 / 3 = 11).

·        0 (cero) es múltiplo de cualquier número, es decir que al multiplicarlo por cualquier valor se obtiene 0.

·        al sumar distintos múltiplos de un número dado, se obtiene otro múltiplo del mismo.

·        similar al punto anterior, la diferencia de dos múltiplos de un número cualquiera da como resultado un tercer múltiplo.

·         si a es múltiplo de b y éste, de c, entonces a es múltiplo de c;

·        si a es múltiplo de b, todos los múltiplos de a también lo son de b.

CONCEPTO DE DIVISOR:

El número entero r es divisible por un entero s si el resultado de la operación es un tercer entero t. En ese caso, se dice que r es divisor de s (r / s = t).

Por ejemplo: 8 es divisor de 4 ya que 8 dividido 4 es igual a 2 (un número entero). En cambio, 8 no es divisor de 5, porque si realizamos dicha operación el resultado no será un número entero, sino 1,6.

En la estructura de la operación aritmética de división, el divisor es el número que está contenido x veces en otro, el llamado dividendo.

Un concepto que resulta equivalente al de divisor, aunque se enfoca desde la perspectiva inversa, es el de submúltiplo (el número que otro contiene exactamente dos o más veces). Retomando nuestro ejemplo anterior, podemos decir que 4 es submúltiplo de 8, ya que 4 x 2 = 8.

El común divisor es un tipo de divisor a través del cual 2 o más números resultan divisibles con exactitud. El máximo común divisor, por su parte, es el común divisor más grande de dos números o más.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo: 24, 238, 1 024, ...

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplo:

564            5 + 6 + 4 = 15                  15 es múltiplo de 3

2 040         2 + 0 + 4 + 0 = 6             6 es múltiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Ejemplo: 36, 400, 1 028, ...

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Ejemplo: 45, 515, 7 525, 230, ...

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Ejemplo: 72, 324, 2 400, ...

Criterio de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

Ejemplo: 4 000, 1 048, 1 512, ...

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Ejemplo:

81               8 + 1 = 9

3 663               3 + 6 + 6 + 3 = 18                  18 es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

Ejemplo: 130, 1 440, 10 230, ...

Criterio de divisibilidad por 7:

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.

Ejemplo:

-        343                 34 − 2 · 3 = 28           28 es múltiplo de 7

-        105            10 − 5 · 2 = 0

-        2 261             226 − 1 · 2 = 224

-        Se repite el proceso con 224            22 − 4 · 2 = 14        14 es múltiplo de 7

Criterio de divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11.

Ejemplo:

121           (1 + 1) − 2 = 0

4224         (4 + 2) − (2 + 4) = 0

REALIZADO POR: Jennifer Viejo Hidalgo y Eva Carreras Teruel.

¿Qué son los algoritmos?

En la clase impartida hoy se nos ha insistido mucho en el hecho de que los alumnos tengan buena base para poder llevar a cabo el desarrollo de los algoritmos, el cual es un método que consiste en una serie de pasos que deben seguir para resolver un problema. El principal uso de los algoritmos es agilizar el proceso  y una de las ventajas que yo personalmente les atribuyo, es que  estos admiten modificaciones personales , por lo que con este sistema también damos la oportunidad de permitir a los niños ser en cierta medida mas creativos y libres en cuanto a su elección de como realizar sus tareas. Con los algoritmos también abordamos otro tema importante, amplia la gama de situaciones, es decir, no se centra en un problema concreto, por lo que conseguiríamos que los alumnos vieran las matemáticas como algo que pueden utilizar en su día a día y con esto se podría empezar a trabajar en conseguir que deje de ser una de las asignaturas mas temidas y con mas suspensos.

REALIZADO POR: Eva Carreras Teruel, y Jennifer Viejo Hidalgo.

Enseñanza del algoritmo de la división

División egipcia:

La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación: Se marcan los números de la columna B cuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la columna A se halla el cociente. Así:

Para dividir 168 entre 8
Números egipcios			Números actuales
A	B	cifras a sumar	A	B
		Hecho	1	8
			2	16
		Hecho	4	32
			8	64
		Hecho	16	128
Resultado:
		1 + 4 + 16 = 21

Notas:

• Las columnas se detienen cuando la columna B llega al número anterior al dividendo.

• El signo  Hecho indica las cifras intermedias que se han de sumar para obtener el resultado final, aquellas que en la columna B suman 168: 128 + 32 + 8.

Cuando el cociente no es exacto, es necesario introducir las fracciones.Así, para dividir 169 entre 8 se opera igual, pero habría que añadir 1/8 pues 21 = 16 + 4 + 1 + 1 dividido por 8. Solución 21 + 1/8Para dividir 170 entre 8 se opera igual, pero habría que añadir 1/8 + 1/8. Solución 21 + 1/8 + 1/8 etc.

División anglosajón

Tanto en Estados Unidos como en algunos países de América central, México por ejemplo, las divisiones se realizan de una manera distinta a una división numérica de la tradicional división europea, donde los factores que componen la ecuación matemática ocupan lugares y posiciones distintas a la habitual. Mira en el ejemplo de la imagen adjunta donde se ubican dividendo y divisor.

Posición de los números  de la división en en método europeo y anglosajón:

El cociente de la división americana pasa a estar encima de la línea continua del dividendo en lugar de debajo de la línea del divisor como en el caso de Europa. El resto de la división se va colocando debajo del dividendo, igual que el proceso habitual conocido y estudiado en ambos sistemas, norteamericano y europeo continental.

REALIZADO POR: Jennifer Viejo Hidalgo.