1.- EL
SIGNIFICADO DE FRACCIÓN
La palabra fracción indica un par ordenado de números
naturales, escrito de la forma a/b, que es utilizado en situaciones con
diferentes significados.
1.1.- La
fracción como relación parte / todo.
En este caso, el significado de fracción es la relación
entre el número de partes que se toman y las partes totales.
La relación parte / todo también puede entenderse en el
contexto de la recta numérica. En este caso, la fracción a/b es un punto sobre
la recta numérica y una relación en la que cada segmento unidad se ha dividido
en b partes de las que se toman a.
1.1.1.- Los
decimales como extensión de la relación parte-todo.
Una extensión de la
relación parte-todo, junto con las características de nuestro sistema de
numeración decimal, dan pie a la introducción de los números decimales y las
fracciones decimales: Fracción decimal es aquella cuyo denominador es 10. Si
cada una de esas partes la volvemos a dividir en otras diez partes, obtendremos
centésimas ( 1/10 de 1/10, ó 1/100 de la unidad). Estas fracciones se pueden
también representar en la forma decimal: 0´1, 0´001, etc.
1.1.2.-
Fracciones unitarias, fracciones propias y fracciones impropias.
Se denominan
fracciones unitarias aquellas que tienen como numerador la unidad. Fracciones
propias serían aquellas cuyo numerador es más pequeño que el denominador, y por
lo tanto representan una parte menor que la unidad. Fracciones impropias son
aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador y representan una parte
mayor que la unidad. Estas últimas resultan más difíciles de comprender para
los alumnos, de modo que es conveniente convertirlas en números mixtos, que
están formados por una parte entera más una fracción propia.
1.2.- La
fracción como cociente.
En esta
interpretación se asocia la fracción a la operación de dividir un número
natural por otro, de modo que una fracción a/b es lo mismo que a:b.
1.3.- La
fracción como razón.
La fracción se
considera como el índice de comparación entre dos partes de un todo o entre dos
cantidades de una misma magnitud.
1.3.1.- Comparación
entre cantidades discretas de dos colecciones de objetos:
Si tenemos una
circunferencia con dos puntos (A) y otra con tres puntos (B). La relación entre
los puntos de A y B es de 2/3. La relación entre los puntos de B y A es de 3/2.
1.3.2.- Comparación
entre dos cantidades de una misma magnitud continua:
La relación entre los
kilos de membrillos y azúcar es de 3/5, ya que de cada 5 kilos de azúcar
cogeríamos 3 kilos de membrillo.
1.3.3.-
Comparación entre dos partes de un todo.
La relación (razón)
entre las bolas verdes y azules de la urna es de tres cuartos ( ¾) En la
Universidad de Málaga hay tres hombres por cada cuatro mujeres. En las cárceles
españolas hay 1 mujer por cada 12 hombres.
1.4.- La fracción como porcentaje.
Se trata de la relación parte / parte o parte / todo cuando
se le da a la parte de referencia o al todo el valor 100.
Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 4 bolas azules. La
relación (razón) entre las bolas verdes y azules de la urna es de tres cuartos
( ¾) Las bolas azules son el 57% de las bolas de la urna.
En el pueblo hay 1 mujer por cada 9 hombres. Los hombres del
pueblo son el 90% de la población.
1.5.- La
fracción como operador.
La fracción se
entiende como un operador, que transforma una cantidad. Responde a situaciones
como las siguientes: “hemos gastado las dos terceras partes del dinero ganado
el martes, que fueron 500 euros” 2/3 x 500 = (2x500)/3 = 333,33… euros. Es el significado de mayor nivel de
abstracción, con él culmina el proceso de construcción de las fracciones y se
obtiene una herramienta algebraica poderosa.
1.6.-
Sistemas de representación de fracciones.
Tanto en el sistema
escolar como en la vida diaria, utilizamos distintos tipos de representación
para las fracciones, que corresponden a los distintos significados que les
hemos dado anteriormente, y que hemos visto en los ejemplos:
- Representación
verbal de las fracciones: dos quintos, un décimo, cuatro tercios, …
- Representación en
forma de gráfico continuo: - Representación en forma de gráfico discreto: -
Representación como decimal: 0,2 = 2/10.
- Representación como porcentaje: Cuando el decimal no tiene
más de 2 cifras decimales: 0,25 = 25 % = ¼.
- Representación como un punto sobre una recta.
2.- LOS CONCEPTOS DE EQUIVALENCIA Y ORDEN DE FRACCIONES
2.1.- Equivalencia de fracciones.
Uno de los conceptos más importantes a la hora de trabajar
con fracciones es el de “equivalencia de fracciones”. Fracciones equivalentes
son aquellas que representan la misma situación de reparto, de relación parte /
todo o de relación parte / parte. En términos más rigurosos matemáticamente
hablando, diríamos que fracciones equivalentes son aquellas que representan al
mismo número racional. Decimos también que dos fracciones a/b y c/d son
equivalentes si sus productos cruzados son iguales: axd = bxc.
El dominio de este concepto nos permite, en primer lugar,
comparar, y por lo tanto ordenar, dos fracciones.
También es un concepto sumamente importante a la hora de
sumar o restar fracciones. Si no se domina este concepto, es imposible realizar
la mayoría de estas operaciones.
Por último, la equivalencia de fracciones permite construir
el número racional, como la clase de equivalencia de todas las fracciones
equivalentes a una dada. Las actividades para reconocer la equivalencia de
fracciones más utilizadas son aquellas en las que por dobleces o por dibujo,
hacemos ver a nuestros alumnos que las zonas que deseamos resaltar son iguales,
independientemente de que una zona se divida en 3 partes (tercios) o en 6
partes (sextos).
A continuación las actividades irán encaminadas a obtener la
regla general, es decir, que para obtener una fracción equivalente a otra tan
sólo hace falta multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el
mismo número.
2.2.-
Fracción irreducible.
Es aquella que tiene como términos números primos entre sí.
La fracción irreducible es la representante del número racional. 2.3.-
Ordenación de fracciones. Como decíamos anteriormente, basándonos en el
concepto de fracciones equivalentes, podemos comparar fracciones y determinar
cuál es mayor o menor. En la comparación de fracciones nos encontramos con tres
posibles supuestos:
1.- Fracciones con igual denominador.
2.- Fracciones con igual numerador pero diferentes
denominadores. En este caso es mayor la fracción que tenga menor denominador.
Para que los alumnos lo comprendan, es necesario representar situaciones en que
puedan ver cómo unas partes son menores que otras.
3.- Fracciones con diferentes numeradores y diferentes
denominadores.
3.-OPERACIONES
CON FRACCIONES
En las operaciones entre fracciones se conservan los
significados anteriores para el caso de la suma y la resta, sumar es añadir,
unir, etc., y restar quitar, perder, etc., pero se modifica sustancialmente
para el caso de la división y sobre todo de la multiplicación.
3.1.- Suma
y resta de fracciones.
El caso más simple es cuando las fracciones tienen el mismo
numerador (son fracciones del mismo tipo) y se suman en la forma en que se
sumarían números naturales, sumando los numeradores y dejando el mismo
denominador.
Cuando no tienen el mismo denominador, el concepto básico
que hay que entender es que, antes de operar con ellas, hay que convertirlas en
fracciones equivalentes de modo que tengan el mismo denominador. Esto es lo que
se denomina reducción de fracciones a común denominador.
Existen distintas maneras de convertirlas en fracciones de
igual denominador, pero básicamente, utilizaremos dos: convertir las dos
fracciones a veinticuatroavos o convertirlas a doceavos. El primer caso es el
más sencillo, y consiste en multiplicar numerador y denominador de cada
fracción por el denominador de la otra. El segundo caso es más complicado y
consiste en multiplicar numerador y denominador de cada fracción por el
resultado de dividir el mínimo común múltiplo de los denominadores entre el
denominador de cada fracción.
3.2.-
Multiplicación de fracciones.
La multiplicación de
fracciones presenta dificultades para los alumnos porque es un concepto
completamente diferente de la multiplicación de números naturales. Pero esta dificultad
pasa desapercibida porque, curiosamente, el algoritmo de multiplicación de
fracciones es el que intuitivamente siguen los alumnos, es decir, multiplicar
los numeradores y multiplicar los denominadores: ¾ x 2/5 = 6 /20.
La multiplicación de
números naturales se enseña a los alumnos en la mayoría de las ocasiones como
repetición de sumandos: 3 x 4 = 3+3+3+3 o bien 4+4+4.
En otras ocasiones, se hace como producto cartesiano, de
modo que 3 x 4 son las posibles parejas que se pueden formar con dos conjuntos
que poseen respectivamente 3 y 4 elementos. Pero ninguna de estas situaciones
corresponde con la multiplicación de fracciones, pues ninguna tiene sentido.
Para hacer 3/5 x 7/8 no se puede repetir ¾ “7/8 veces”.
Tampoco podemos hacer el producto cartesiano de un conjunto
que tenga ¾ elementos por otro que tenga 7/8 elementos.
La primera aproximación a la multiplicación de fracciones ha
de ser multiplicar un número entero por una fracción, porque es el proceso más
parecido a lo que se hace con números naturales.
3.3.-
División de fracciones.
De entre los
contextos en que los alumnos aprenden el concepto de división (división como
reparto o división como razón), tan sólo este último puede ser aplicado, aunque
de forma difícil, a la división de fracciones.
El primero de los contextos resulta imposible de aplicar: Si
queremos hacer la división 8/3 : 2/5 ¿Cómo se puede representar una situación
en que dividimos 8/3 entre 2/5 individuos? Se pueden representar 2 individuos,
3 individuos, … pero 2/5 individuos? El segundo contexto es algo más accesible,
de forma que 1/3 : 2/5 sería equivalente a representar cuántas veces 2/5 caben
en 1/3.
4.- MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE
FRACCIONES
Con respecto al uso de materiales, hay que tener en cuenta
que representan situaciones absolutamente artificiales, y con una gran carga
simbólica. Es necesario, además de trabajar con dichos materiales (y en muchas
ocasiones, en lugar de trabajar con ellos) utilizar los recursos que las
situaciones reales y las aproximaciones al concepto de fracción que los alumnos
poseen.
Con este enlace podemos ver los tipos de materiales que
podemos emplear para enseñar fracciones.
